数学建模优秀论文

1 太阳能小屋的设计青岛大学 邱常新 徐海通 崔孝礼 指导教师：数学建模组专家点评： 该文建立了确定电池板与逆变器的类型和数量的双目标规划模型， 计算了各墙面的辐射强度， 给出了规划求解的 Lingo 程序， 给出了最优铺设方案和串并联方式。 考虑倾斜角度与辐射量之间的关系， 建立使辐射量最大的规划模型， 通过求解该规划给出最优倾斜角度和方位角。 该文设计的房屋考虑了朝向问题，给出了计算最佳尺寸的规划模型，给出了铺设方案。该文所建模型基本正确， 求解最佳铺设角度的模型具有新意， 所给铺设方案可行。符号意义清晰，论文格式符合要求。山东财经大学管理科学与工程学院 马建华副教授摘要太阳能光伏发电是根据光生电效应原理， 利用太阳电池将太阳光能直接转化为电能。 太阳能小屋就是利用太阳能光伏发电系统进行发电， 在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。 不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大， 且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。第一步将考虑建立多目标优化模型，建立目标函数求解。对第一问要求仅考虑贴附安装方式， 选定光伏电池组件， 并根据电池组件分组数量和容量， 选配相应的逆变器的容量和数量， 我们先假设在理想条件下即逆变器使电能无损耗， 从而按照太阳辐射的总量来计算是否在各个面上铺设光伏电池能够收回成本， 其次我们可以从每个平面着手， 先定逆变器的种类和数量， 数量尽量最少， 看看每个逆变器对每种型号的光伏电池最多能串联多少个，即 jiN ， 在大同市光照辐射强度对每个面影响的基础上以发电量最大、 花费费用最小为目标函数， 根据题中的约束条件来建立模型， 以此求解来确定铺的光伏电池的类型跟数目， 并计算出太阳能小屋的发电总量、经济效益及投资的回限。对于问题二， 本题要求在架空安装方式下重新考虑问题一。 而架空安装方式与光伏电池组件列阵的朝向与倾斜角有关， 当光伏电池组件阵列与太阳光线垂直2 时， 能接受到最多的太阳辐射， 因此要使电池组件阵列朝向太阳方位安装， 并根据太阳高度角设定电池组件阵列与水平面 （安装面） 的倾斜角。 计算倾斜角可以先取 N个倾角 算这些倾角在 1 年接受的太阳辐射量，使太阳辐射量最大的倾角为最优倾角。 第一考虑到架空后太阳光照射到光伏电池表面出现倾斜角， 但是考虑到现实情况， 东面跟西面两个墙面要是出现倾斜的光伏电池板的话， 不符合现实情况所以依旧认为东西两面是贴附的， 而顶面跟南面墙可以有倾斜角； 第二考虑到电池板架空之后出现相关的朝向角， 根据电池板的接受的总辐射量等于电池板散射辐射强度加上电池板的直射辐射强度建立模型求解出使总辐射量最大的最优倾斜角和朝向角，将总辐射量带入问题一的模型中求解 。问题三要求我们为山西大同重新设计一个小屋， 为了使其上的光伏电池达到最优的工作效率， 考虑根据顶面跟南面的太阳辐射量， 可以算出顶面跟南面在发电量方面占的不同的权重， 以这个权重来建立非线性规划模型， 以小屋的南平面为参考面， 屋子的最佳朝向角即为小屋南墙面的最佳朝向。 除此之外， 小屋的各个墙面及顶面的面积也需要我们重新设计。 因此小屋的朝向以及各个墙壁面的面积即为我们需要设计的元素，来达到电池最优工作效率的目的。关键词 ： 光伏发电系统 多目标优化 贪心算法 最佳倾斜角和朝向角 权重一、问题重述设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。 不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大， 且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。附件 1-7 提供了相关信息。 请参考附件提供的数据， 对下列三个问题， 分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按 0.5 元 /kWh计算）及投资的回收年限。在求解每个问题时， 都要求配有图示， 给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时， 同一型号的电池板可串联， 而不同型号的电池板不可串联。 在不同表面上， 即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。问题一： 请根据山西省大同市的气象数据， 仅考虑贴附安装方式， 选定光伏电池组件，对小屋（见附件 2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题二： 电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率， 请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题 1。问题三： 根据附件 7 给出的小屋建筑要求， 请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图， 并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池， 给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。3 二、问题分析第一步将考虑建立多目标优化模型，建立目标函数求解。对第一问，首先要求根据山西省大同市的气象数据， 仅考虑贴附安装方式， 选定光伏电池组件， 对小屋的部分外表面进行铺设， 并根据电池组件分组数量和容量， 选配相应的逆变器的容量和数量，我们先假设在理想条件下即逆变器 100%转化成可供使用的电能无损耗， 从而按照太阳辐射的总量来计算是否在各个面上铺设光伏电池能够收回成本， 其次我们可以从每个平面着手， 先定逆变器的种类和数量， 数量尽量最少， 在每个平面上划分尽可能大的长方形， 对三角形区域找其最大的内接长方形，在这个长方形区域内铺光伏电池， 看看每个逆变器对每种型号的光伏电池最多能串联多少个，即 jiN ， 在大同市光照辐射强度对每个面影响的基础上以发电量最大、 花费费用最小为目标函数， 根据题中的约束条件来建立模型， 以此求解来确定铺的光伏电池的类型跟数目，利用 matlab 软件编写程序，根据各类电池板的条件限制，我们分别可求出一年中光照辐射强度在 200 W/m2 以上 ， 80 W/m2 ～200 W/m2 ， 80 W/m2以上 ， 30 W/m2 以上 的光照辐射强度总量。利用贪心算法编写 lingo 程序求出每个面应该铺设哪种类型的光伏电池以及铺设的数量， 并计算出太阳能小屋光伏电池组 35 年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按 0.5 元 /kWh计算）及投资的回收年限。对于问题二， 本题要求在架空安装方式下重新考虑问题一。 而架空安装方式与光伏电池组件列阵的朝向与倾斜角有关。 架空安装的目的是使光伏电池组件阵列接受到更多的太阳辐射， 当光伏电池组件阵列与太阳光线垂直时， 能接受到最多的太阳辐射， 因此要使电池组件阵列朝向太阳方位安装， 并根据太阳高度角设定电池组件阵列与水平面 （安装面） 的倾斜角。 计算倾斜角可以先取 N个倾角 算这些倾角在 1 年接受的太阳辐射量， 使太阳辐射量最大的倾角为最优倾角。 第一考虑到架空后太阳光照射到光伏电池表面出现倾斜角， 但是考虑到现实情况， 东面跟西面两个墙面要是出现倾斜的光伏电池板的话， 不符合现实情况所以依旧认为东西两面是贴附的， 而顶面跟南面墙可以有倾斜角； 第二考虑到电池板架空之后出现相关的朝向角， 根据电池板的接受的总辐射量等于电池板散射辐射强度加上电池板的直射辐射强度建立模型求解出使总辐射量最大的最优倾斜角和朝向角，将总辐射量带入问题一的模型中求解 。问题三要求我们为山西大同重新设计一个小屋， 为了使其上的光伏电池达到最优的工作效率， 考虑根据顶面跟南面的太阳辐射量， 可以算出顶面跟南面在发电量方面占的不同的权重， 以这个权重来建立非线性规划模型， 以小屋的南平面为参考面， 屋子的最佳朝向角即为小屋南墙面的最佳朝向。 除此之外， 小屋的各个墙面及顶面的面积也需要我们按照一定条件重新设计。 因此小屋的朝向以及各个墙壁面的面积即为我们需要设计的元素， 使设计房屋的形式合理以及用铺设的方式来发电使得小屋的发电量尽可能的大， 同时单位电价的费用尽可能的小来来达到电池最优工作效率的目的。三、模型假设模型假设 : 1．太阳能小屋表面铺设的光伏电池在外界环境下满足光照条件后都能很好的工4 作，不会出现损坏，光伏电池的全部面积都可以接收光照且转换发电。2． 太阳能的工作不会出现延迟，即会满足条件后能立即工作。在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接，相邻的光伏电池之间可以进行无缝的连接。3．太阳能光伏电池组件分组阵列连接之间不会存在电阻不会消耗电能。同一分组阵列中的组件在安装时，应尽可能保证具有相同的太阳辐射条件（朝向、倾角等） ，当太阳辐射强度小于 200 2/w m 时， A 型号电池组件转换率过低，忽略不计。4．光伏电池一般经过串、并联组成光伏分组阵列接入逆变器的直流侧不会出现损失，全部流入逆变器。5．逆变器放在屋内，不会占用太阳能小屋表面的面积，对其不影响。连接光伏电池之间以及光伏电池和逆变器之间所用的电线所产生的费用和铺设电线所占的面积均忽略不计。6．实际发电量计算， 不考了 AM值的影响， 根据电池表面接受到的太阳总辐射量参数进行计算，忽略散射辐射量影响。7．太阳能电池在可架空的方式下， 之间的阴影不会对太阳能电池发电产生影响。四、问题一1. 模型分析第一步将考虑建立多目标优化模型，建立目标函数求解。对第一问要求仅考虑贴附安装方式， 选定光伏电池组件， 并根据电池组件分组数量和容量， 选配相应的逆变器的容量和数量， 我们先假设在理想条件下即逆变器使电能无损耗， 从而按照太阳辐射的总量来计算是否在各个面上铺设光伏电池能够收回成本， 其次我们可以从每个平面着手， 先定逆变器的种类和数量， 数量尽量最少， 看看每个逆变器对每种型号的光伏电池最多能串联多少个，即 jiN ， 在大同市光照辐射强度对每个面影响的基础上以发电量最大、 花费费用最小为目标函数， 根据题中的约束条件来建立模型， 以此求解来确定铺的光伏电池的类型跟数目， 并计算出太阳能小屋的发电总量、经济效益及投资的回报年限。2. 符号说明符号 表示意义i=1,2 … 24 给所有的光伏电池标号表示种类j=1,2 … 18 给所有的逆变器标号表示种类T 光伏电池组件总购置费用和逆变器总购置费用和5 jiN第 j 种逆变器在约束条件下能串联的第 i 种光伏电池的个数jm 第 j 种逆变器的数量 ( 1,2 18)jj 第 j 种逆变器的转换效率ic第 i 种电池组件的单价kq 第 k 面太阳总辐射强度 ( 1,2 5)k 1至 5 分别表示水平面、东、南、西、北面jp 第 j 种逆变器的单价is第 i 种电池的面积i第 i 种电池的电能转换效率A(i) (i=1 … 24) 表示相应的光伏电池种类和型号kS (k=1,2,3,4,5) 表示每个墙面的面积iAP（ ） 表示相应的每块光伏电池的单价iAp（ ） 表示相应光伏电池的单位峰值功率的单价iAW（ ） 表示相应的光伏电池的峰值功率 （即组件功率）iAQ（ ） 假设在 35 内刚刚收回电池板的成本时的每单位面积上的每年的辐射总强度3. 模型建立综合经济效益函数引入电量单价， 将光伏电池产生的经济收益减去铺设光伏电池的成本， 即为铺设光伏电池的利润， 寻求利润最大化， 综合衡量了发电量尽可能大与单位发电费用尽可能小，合理地将双目标转化为单目标。建立的模型为：18 24 24 181 1 1 1[ ( )] ( )]j j ji i i i ji i j jj i i jMax m N s q N c m p241ji i kiN s S2411 2j ji i jiu N u u6 s.t. i 0.1ji i ji iMax N u M n N u— (1) 220, 200 /0, 200 /i kkn q w mq w m220, 80 /0, 80 /i kkn q w mq w m220, 30 /0, 30 /i kkn q w mq w m目标函数要使发电量发电量尽可能大：18 241 1[ ( )]j j ji i i ij iMax m N s q而单位发电费用尽可能小24 181 1ji i j ji jMin T N c m p其中241ji i i i iiN s q y 为光伏电池组件转换为直流电总和；241ji iiN c 为光伏电池组件购置总价，181j jjm p 为逆变器购置总价，二者共同构成总费用24 181 1ji i j ji jT N c m p决策变量为( 1,2 24)( 1,2 18)jijN im j ；铺设面面积约束，墙面铺设光伏电池组件总面积小于等于墙面面积：241ji i kiN s S ；电压约束，墙面铺设的光伏电池组件总电压小于逆变器电压上限，大于下限2411 2j ji i jiu N u u ，其中 1ju 为第 j 种逆变器电压下限， 2 ju 为为第 j 种逆变器电压上限， iu 为第 i 个电池组件额定电压；约束条件i 0.1ji i ji iMax N u M n N u—7 表示并联的光伏组件端电压相差不超过 10%；太阳辐射强度约束， A、 B、 C三种型号的分别要在太阳辐射大于 200 2/w m 、 80 2/w m 、 30 2/w m 时才能工作 ,对应约束220, 200 /0, 200 /ji kkN q w mq w m( 1,2 6)i220, 80 /0, 80 /ji kkN q w mq w m( 7,2 13)i220, 30 /0, 30 /ji kkN q w mq w m( 14,2 24)i4. 模型求解根据附件 3 的数据，由于本问题中我们需要使得发电量尽可能的大，同时单位电量的费用尽可能的低。则我们可以先假设逆变器的转换效率为 100%且逆变器的费用为 0 时，有公式：i A A A0.535*S *φ i *Q i * P i ;1000（ ） （ ） （ ） (2) A A AP i p (i)*W (i);（ ） (3) 其中 A(i)(i=1 … 24) ，分别表示相应的光伏电池种类和型号。 AS i（ ） 分别表示相应的光伏电池的面积， Aφ i（ ） 分别表示相应光伏电池的转换效率， AP i（ ） 表示相应的每块光伏电池的单价， Ap (i) 表示相应光伏电池的单位峰值功率的单价，AW (i) 表示相应的光伏电池的峰值功率（即组件功率） 。通过 (2) 、 (3) 以及附件 3 的数据可以求得一下表格 1：编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 类型和型号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 临界值 851483 857898 713293 850686 851618 857558 714130 719450 电池单价 3203.5 4842.5 2980 4023 3650.5 4395.5 3312.5 4000 编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 类型和型号 B3 B4 B5 B6 B7 C1 C2 C3 临界值 638491 711977 645019 714447 714191 274404 274520 274217 电池单价 2625 3000 3500 3687.5 3125 480 278.4 480 编号 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 类型和型号 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 8 临界值 274481 274434 274642 273029 274605 275351 274443 274220 电池单价 432 480 19.2 19.2 38.4 57.6 57.6 240 同时由于 A， B 两种类型的光伏电池的启动发电的光照强度需 80w/ ,C 种类型的光伏电池的启动发电的光照强度 30 w/ 。 则对水平光照总辐射以及东、南、西、北四面的单位面积年总辐射强度按照大于 80 和大于 30 两个条件求和。得表 2：水平面总辐射 东 南 西 北条件 >30 >30 >30 >30 >30 年总辐射强度 1460038.799 578673 1043402 872802 243181 条件 >80 >80 >80 >80 >80 年总辐射强度 1437833.329 522399 1007702 795135 132001 将表 1 和表 2 进行对比，我们可以发现，背面墙无论铺设那种类型的光伏电池，在 35 年内都无法收回其购买电池的成本。 东面墙仅能铺设 C种类型的官府电池，屋顶、南面墙、西面墙三种类型的光伏电池均可铺设。由 matlab 软件计算出的一年之中水平面，东面，南面，西面，北面中所能接收的太阳光照总辐射强度如下（程序见附录一） ：结果为：1330000 403400 870200 694300 45900 107800 119000 137500 100800 86100 1437800 522400 1007700 795100 132000 1460000 578700 1043400 872800 243200 由 lingo 程序求出每个面应该铺设哪种类型的光伏电池以及铺设的数量如下（ lingo 程序见附录二） ：1、 太阳能小屋顶面：选择 25 个 B多晶硅电池 B5 型号的光伏电池，每 5 个串联一个分支，然后将5 个分支并联接到型号为 SN14的逆变器上，电池排列如下图所示：电路连接方式：B5 B5 B5 B5 B5 9 2、 太阳能小屋顶面后面斜坡部分：选择 5 个 B 多晶硅电池 B5型号的光伏电池， 将这 5 个电池直接串联起来然后接到型号为 SN11的逆变器上，电池排列如下图所示：电路连接方式：3、 太阳能小屋南墙面：选择 8 个为 A 单晶硅电池 A3 型号和 48 个为 C薄膜电池 C7型号，每 4 个 A3型号的 A 单晶硅电池串联成一个分支，形成两个分支，将俩个分支并联，对48 个 C7型号的 C薄膜电池每 16 个串联成一个分支，共有 3 个分支，将这三个分支与 A3 型号的两个分支并联， 共有 5 个分支并联。 电池排列如下图所示：电池连接方式：B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 10 4、 太阳能小屋东墙面：选择 6 个 B 多晶硅电池 B5型号的光伏电池， C薄膜电池 C2型号 2 个和 C6型号的 45 个，将 6 个 B5型电池每 3 个串联成一个分支，共两个分支，将这两个分支并联； 然后将 2 个 C2型薄膜电池每一个单独并联上 B5 型的两个分支；将 45 个 C6型号的薄膜电池每五个串联组成一个分支，共有 9 个分支，将这9 个分支分别与上面的两个分支并联在型号为 SN7的逆变器上。电池排列如下图所示：A3 A3 A3 A3 A3 A3 A3 A3 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 11 电池连接方式如下图：B5 B5 B5 B5 B5 B5 C2 C2 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 12 5、 太阳能小屋西墙面：选择 10 个 B多晶硅电池 B5 型号的光伏电池，每 5 个串联成一个分支，共两个分支，将这两个分支并联接在型号为 SN12的逆变器上。电池排列如下：电池的连接方式如下：C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 B5 13 通过以上求出的结果可以计算出太阳能小屋的建设费用为 21.7 万元， 35 年的发电总量为 57 万千瓦时，当过 25.7 年左右可以收回成本。5. 模型评价与推广通过这一模型， 可以求出小屋各个面的电池排列情况和逆变器的个数， 并且求得外表面的铺设情况，可以大体算出放电总量和经济效益及投资的回收年限。但是求解的计算量较大， 尤其是在选定电池组后在各个面上排列时， 需要适当组合优化。 有些里面中未被电池覆盖的空间较大， 为了考虑的方便， 未考虑背光的北面电池安装的情况，计算的值也有一定的误差。该模型可以推广到其他问题，如在一定区域内铺设管道、地砖等，可以有效地更好地进行优化。五、问题二1. 问题分析考虑到电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，选择架空方式安装光伏电池， 第一考虑到架空后太阳光照射到光伏电池表面出现倾斜角， 但是考虑到现实情况， 东面跟西面两个墙面要是出现倾斜的光伏电池板的话， 不符合现实情况所以依旧认为东西两面是贴附的， 而顶面跟南面墙可以有倾斜角； 第二考虑到电池板架空之后出现相关的朝向角， 根据电池板的接受的总辐射量等于电池板散射辐射强度加上电池板的直射辐射强度建立模型求解出使总辐射量最大的最优倾斜角和朝向角，将总辐射量带入问题一的模型中求解。2. 符号说明st太阳时大同的经度为 18113o时角赤纬角也称为太阳赤纬， 即太阳直射纬度N 日期序号太阳高度角当地的纬度 ( 大同的纬度为 o1.40 ) A 太阳的方位角sj南面墙第 j 天正午 12 点的南向总辐射强度aj南面墙对应的太阳高度角1f小屋南墙全年接收辐射量的总和14 xi 光伏电池板与水平面的夹角2f小屋顶部全年接收辐射量的总和jw小屋顶部平面第 j 天正午 12 点的水平总辐射强度jb小屋顶部平面对应的太阳高度角dj 水平散射总辐射强度X 光伏电池板与水平面的夹角 （正南方向夹角，上午为负，下午为正）Y 光伏电池板的朝向角（正南方向夹角，上午为负，下午为正）( )dR t 电池板接收的直射辐射强度( )pR t 电池板接收的总辐射强度( )D t 电池板散射强度R 一年中总辐射强度之和的最大值3. 模型建立在第一问的模型基础上， 我们可通过计算光伏电池在各个倾斜角度吸收的太阳辐射量，来确定其最佳倾角。我们以每天正午 12 点太阳高度角以及太阳辐射强度为准，模型如下：小屋南墙：Max 1f = 365j j jj 1s sin a x / sin a [4] s.t. 0/ 2xx小屋顶部平面：Max 2f = 365j j j jj 1w sin b x / sin b d15 s.t. 0 / 2xx此时电池板法向量为1 {cos cos , cos sin , sin }r x y x y x设 t 小时太阳高度角为 t ，则由 ( ) ( ) ( ) ( )sind p n tR t R t D t R t 可得( ) ( )sin( )ptnR t D tR t[5] 由前面的计算知，此时光线反方向单位向量为：cos cos , cos sin , sin12 12t t tt tr设 t 小时光线反方向与电池板夹角为 ，由于 1,r r 均为单位向量，所以有1sin cos( / 2 )cos cos cos cos( /12)cos sin cos sin( /12) sin sintt tr rx y tx y t x此时电池板直射辐射强度为( , ) ( ) ( )sin( )(cos cos cos cos( /12) cos sin cos sin( /12)sin sin )d nn t ttR t R tR t x y t x y tx电池板散射强度为1 cos( ) ( )2tD t D t电池板总辐射强度为( , ) ( , )( ) ( ) ( )( )(cos cos cos cos( /12) cos sin cos sin( /12)1 cossin sin ) ( )2p dn t tttR t R t D tR t x y t x y tx D t其中 :0t t N ， 365 24N 8760。建立倾斜角跟朝向角的模型为：16 ( , )1010max ( )( )(cos cos cos cos( /12)cos sin cos sin( /12) sin sin ) ( )(1 cos ) / 2sin ( ( ) ( )) / ( ),. 0 / 2,NptNn ttt t tt p nR R tR t x y tx y t x D tR t D t R ts t xy设 4( )ij NB b ，其中122 134sin ( ( ) ( )) / ( ),cos 1 ,sin( /12)cos( /12)0,1, , 1i t p ni t iiib R t D t R tb bb tb tt N所以最后的模型为：12 4 2 3 1 20max ( )( cos cos cos sin sin ) ( )(1 ) / 20 / 2,.Nn i i i i i itR R t b b x y b b x y b x D t bxs ty4. 模型求解可将 ,x y 限定在一定范围内， 根据进度要求按一定步长搜索最优解 0 0( , ) ，运用 matlab 软件（程序代码见附录三）可以解出使小屋南墙全年接收辐射量的总和最大的倾斜角以及使小屋顶部全年接收辐射量的总和最大的倾斜角， 结果如下：0.8500 0.7100 2.0576e+005 3.0515e+005 由公式倾斜角 =x*90*2/ π 得出南面墙的倾斜角为（ 0.85*90*2 ） / π =48.72度， 小屋南墙全年接收辐射量的总和最大为 2.0576*10^5 2/w m ; 顶面是倾斜角为17 （ 0.7100*90*2 ） / π =40.70 度 ， 小 屋 顶 部 全 年 接 收 辐 射 量 的 总 和 为3.0515*10^5 2/w m 。朝向角为南偏西 15.5 度。顶面光伏电池板的倾斜角及朝向角示意图如下：南偏西 15.5 度（朝向角）40.7 度（倾斜角）南面墙光伏电池板的倾斜角及朝向角示意图如下图：48.72 度（倾斜角）南偏西 15 度（朝向角）将每个面全年接收的辐射量的总和带入问题一的模型求解， 因为问题一的每个面的铺设方案是在没有倾斜角的情况下计算出的， 已经是最优的， 因此将每个面全年接收的辐射量的总和带入之后可以得出计算出的相关结果为最优， 所以太阳能小屋的建设费用为 21.7 万元， 35 年的发电总量为 57 万千瓦时，当过 21 年左右可以收回成本。效率较问题一提高了 22.3%左右，而铺设方案不变，只需将问题一顶面铺设的光伏电池板倾斜 40.70 度，朝向南偏西 15.5 度，将南面的铺设的光伏电池板倾斜 48.72 度，朝向角为南偏西 15.5 度。5. 模型评价这一模型较好求解了太阳能电池的倾角和朝向的问题， 以此使得太阳能电池接收的的直射和辐射的总能量达到最大。 在现实生活中， 对于一般太阳能的安装都具有重要的指导意义和建造房屋的朝向选取的问题上都有一定的参考价值。 但是， 由于在太阳照射的过程中各个时间点的光照强度都不同， 这就使得倾角和偏向有了一定的误差，且模型求解较为麻烦。18 六、问题三1. 问题分析问题三要求我们为山西大同重新设计一个小屋， 为了使其上的光伏电池达到最优的工作效率， 考虑根据顶面跟南面的太阳辐射量， 可以算出顶面跟南面在发电量方面占的不同的权重， 以这个权重来建立非线性规划模型， 以小屋的南平面为参考面， 屋子的最佳朝向角即为小屋南墙面的最佳朝向。 除此之外， 小屋的各个墙面及顶面的面积也需要我们重新设计。 因此小屋的朝向以及各个墙壁面的面积即为我们需要设计的元素，我们先不考虑窗户，由问题一先用 A3、 B3、 B5这三种型号的电池来铺满小屋的顶面， 南面， 西面及东面， 尽量使得四周所有的墙壁都是有整数个面积单元组成， 使能铺的面积在约束条件下最大， 再由设计房屋的形式合理以及用铺设的方式来发电使得小屋的发电量尽可能的大， 同时单位电价的费用尽可能的小来达到电池最优工作效率的目的。2. 符号说明S 小屋四周及屋顶可铺的总面积1n面积单元数值重叠的个数x1,x2 面积单元在水平两个垂直方向上的横铺的个数idA3， B3， B5 种电池规格的高 ,i=3,9,11ilA3， B3， B5 种电池规格的长， i=3,9,111屋顶斜面朝南朝北时与水平面所形成的倾角2屋顶斜面朝东朝西时与水平面所形成的倾角1 ， 2 余弦值的较小值jm东，南，西，北以及顶面四个面所需要取出的面积单元的个数 (j=1,2,3,4,5)j东，南，西，北及顶面发电量方面占的不同的权重3. 建立模型在问题一中我们已对 A、 B 排出优先等级，所以我们仅考虑采用 A3、 B3、B5 这三种规格的光伏电池来对我们设计的小屋的形式和规格进行设计。由于我们需要用电池进行铺设，所以我们先不考虑窗户，先用 A3、 B3、 B5 这三种型号的电池来铺满小屋的顶面， 南面， 西面及东面， 尽量使得四周所有的墙壁都是有整数个面积单元组成， 使能铺的面积在约束条件下最大， 然后我们再考虑在各个19 墙面取出整数个面积单元来满足附件 7 中的相应的要求， 考虑根据顶面跟南面的太阳辐射量， 可以算出顶面跟南面在发电量方面占的不同的权重， 建立如下规划模型：5412* *Max S 2*d * * x1 x2 x1*x2* *d *ii i i ij jjl lml约束条件为：21 12 13 14 11 21112113 x1* 15;3 x2* 15;2.8 * 5.4;x1*x2* 74;0.35*x1*n ;0.5*x2*n ;0.35*x1*n ;0.3*x2*n ;min cos ,cos ;5.4 *tan 2*x1*5.4 *tnan 2* x2*x1,x2, ,iiijiiiiimmmmn dn dn mlldlll均为整数；4. 模型求解依据问题一的 接收的太阳光照总辐射强度 ，我们通过 matlab 编写程序（程序见附录五）可以求出其权重为：6.0033 2.3795 4.2903 3.5888 1.0000 依次为顶，东，南，西，北各个面的权重。下面我们可以通过 lingo 程序（程序见附录四）分别对于 A3， B3， B5 计算出相应的 x1,x2, 1n , jm , 如下表：电池型号： X1 X2 1n 1m 2m 3m 4mS A3 3 9 6 3 1 3 4 0.7083 239 B3 3 10 5 2 2 2 3 0.6734 245 B5 3 6 5 0 7 0 1 0.7023 229 通过以上的数据我们选取有效面积最大的 B3 的规格进行设计，则得到设计的房子的结果如下：底面长： 14.82m 底面宽： 4.446m 高 4.96 屋顶与水平面倾角 cos( )=0.6734，屋顶斜面两边对称。窗户数据：东面窗户面积为 2.94 平方米，南面门口面积为 2.94 平方米， 西面墙上窗户面积也为 2.94 平方米，北面墙的窗户面积为 4.41 平方米。利用问题二中的小屋的顶面及南面墙的倾斜角和朝向角编写 matlab 程序将小屋20 的图形画出如下（程序见附录六）如下：02460 510 150123456小屋朝向南偏西 15.5 度，东面墙可贴附 13 个 B3型多晶硅电池，西面墙可贴附 13 个 B3型多晶硅电池， 南面墙可贴附 48 个 B3型多晶硅电池， 北面可贴附40 个 B3型多晶硅电池， 顶面墙可贴附 30 个 B3型多晶硅电池。 总发电量为 87.33万千瓦时，总费用为 31.2 万 ,24.6 年可收回投资，经济效益为 10.01%，南面的铺设方式及电池连接方式为：5. 模型评价这一模型是在第二问的基础上来建立的， 在房屋的朝向上应用上面的结果， 利用附件中的限制条件， 使得选取求出带有加权值的各个面的光照总量最大。 通过计算当每个面都铺Ｂ３时转化的能量最大， 然后我们在回到限制条件， 通过每个面挖去Ｂ３面积的整数倍来使得结果最优， 这样做可以有效地简化模型， 使问题的求解变的简单， 给出了一种较为合理和优化的太阳能小屋方案。 缺点是思考的21 方面比较单一，电池的选取上也存在一些问题，有一定的误差。六、参考文献[1] 姜启源 , 谢金星，叶俊 . 数学模型 . 高等教育出版社， 2003。[2] 林雪松，周婧，林德新 .MATLAB7.0应用 . 机械工业出版社 ,2005 。[3] 太阳高度角来自于维基百科 ( http://zh.wikipedia.org/wiki ) 。[4] 方荣生 . 太阳能应用技术 . 北京：中国农业机械出版社， 1985。http://zh.wikipedia.org/zh-cn/ （维基百科） 。[6]Stine,W.B.and Geyer , M. Power From The Sun 。网址 : http://www.powerfromthesun.net/book.html[7] 中华人民共和国国家标准（ GB12936.1-91） ，太阳能热利用术语 第一部分。七、附录1. 附录一：根据各类电池板的条件限制，我们分别可求出一年中光照辐射强度在 200 W/m2 以上 ， 80 W/m2 ～ 200 W/m2 ， 80 W/m2以上 ， 30 W/m2 以上 的光照辐射强度总量的 matlab 程序：G表示全年每时刻的太阳光照辐射强度，但由于数据太多无法附录。clear clc G; dG=G(:,[3,6,7,8,9]);ss=zeros(4,5);for k=1:8760for j=1:5if dG(k,j)>=200ss(1,j)=ss(1,j) + dG(k,j);else if dG(k,j)>=80 @for (cos:x*l=2.8; y*d0.2*x(1)*x(2)*l; @for (cos: @gin (x)); @gin (y); @gin (a1); @gin (a2); @gin (a3); @gin (a4); 25 5. 附录五：clear clc %求各个面的权重s30=[1.4600 0.5787 1.0434 0.8728 0.2432]; smin=min(s30); sq = s30/smin; disp(sq); 6. 附录六：clear clc %小屋各个顶点的坐标（三维） az0 ， 点的 0-1 矩阵 az1 az0=[ 0 0 0 4.