2014届高三月考数学试题分类汇编应用题

a d ld a2014 届高三月考数学试题分类汇编应用题1、 （江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考）某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件．（ 1） 据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件， 要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（ 2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革， 并提高定价到 ． x 元． 公司拟投入 21 ( 600)6 x 万元作为技改费用， 投入 50万元作为固定宣传费用，投入 15 x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量 a至少应达到多少万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入 ．．． 与总投入 ．．． 之和？并求出此时商品的每件定价．解： （ 1）设每件定价为 x 元，依题意，有 25(8 0.2) 25 81x x ，整理得 2 65 1000 0x x ，解得 25 40x ．∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元． ………7 ′（ 2）依题意， 25x 时，不等式 21 125 8 50 ( 600)6 5ax x x 有解 , 等价于25x 时，150 1 16 5a xx 有解 , 150 1 150 12 10 306 6x x xx x 当且仅当 时，等号成立, 10.2a . ∴ 当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元． …… 14′2、 （江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比，与它的厚度 d 的平方成正比，与它的长度 l 的平方成反比 . ( Ⅰ ) 将此枕木翻转 90°（即宽度变为厚度） ，枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为 21 , yy 且翻转前后的比例系数相同都为 k ）( Ⅱ ) 现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为 R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为 10，问截取枕木的厚度为 d 多少时，可使安全负荷 y 最大？解： （Ⅰ）安全负荷 kladky (221 为正常数）翻转 222,90 ldaky后 ，, 2 分adyy21 ，当 ad0 时， 21 yy 安全负荷变大 . ,,,, 4 分当 12,0 yyda 时 ， 安全负荷变小； ,,,, 6 分当 a d时， 21 yy 安全负荷不 变 . ,,,,, 7 分（ II ） 如 图 ， 设 截 取 的 宽 为 a ， 厚 度 为 d ， 则222222 44,)2( RdaRda 即 . 1002kady )4(10022 aRak = )4(40032 aaRk （ )2,0( Rx )0k , 9 分)34(4003 22 Raky 令 0y 得： Ra332当 )332,,0( Ra 时 ,0y 函数 y 在 )332,0( R 上为增函数；当 )2,332( RRa 时 ,0y 函数 y 在 )2,332( RR 上为减函数；当 Ra332 时，安全负荷 y 最大。 ,,,, 14 分 ，此时厚度 Rd36 ,,, , 15 分[来答：当问截取枕木的厚度为 R36 时，可使安全负荷最大。, 16 分（说明： a 范围不写 )2,0( R 扣 1 分）3、 （江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考）如图，两座建筑物 CDAB, 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是 9 cm和 15 cm，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 45CAD . (1) 求 BC 的长度；(2) 在线段 BC 上取一点 (P 点 P 与点 CB, 不重合） ，从点 P 看这两座建筑物的视角分别为,, DPCAPB 问点 P 在何处时， 最小？⑴作 AE CD ， 垂足为 E ， 则 9CE ， 6DE ， 设 BC x ，则 tan tantan tan( )1 tan tanCAE DAECAD CAE DAECAE DAE++9 619 61x xx x+， 化简得 2 15 54 0x x ， 解之得， 18x或 3x （舍）答： BC 的长度为 18m ． ,,,,,,,,,,,,,,, 6 分⑵设 BP t ，则 18 (0 18)CP t t ，2 29 15162 6 6(27 )18tan( )9 15 18 135 18 135118t tt tt t t tt t+ + ++ + + ． ,,,,,,,,, 8 分设 2 27( )18 135tf tt t++，22 254 27 23( )( 18 135)t tf tt t++，令 ( ) 0f t ，因为 0 18t ，得15 6 27t ， 当 (0,15 6 27)t 时， ( ) 0f t ， ( )f t 是减函数； 当 (15 6 27,18)tABDCP第 17 题图时， ( ) 0f t ， ( )f t 是增函数，所以，当 15 6 27t 时， ( )f t 取得最小值，即 tan( )+ 取得最小值， ,,, 12 分因为 2 18 135 0t t+ 恒成立，所以 ( ) 0f t ，所以 tan( ) 0+ ， ( , )2+，因为 tany x 在 ( , )2上是增函数，所以当 15 6 27t 时， + 取得最小值．答：当 BP为 (15 6 27)m 时， + 取得最小值． ,,,,,,,,,,, 14 分4、 （江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研）某小商品 2012 年的价格为 8 元 / 件 , 年销量为 a 件， 现经销商计划在 2013 年将该商品的价格降至 5.5 元 / 件到 7.5 元 / 件之间，经调查，顾客的期望价格为 4 元 / 件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比， 比例系数为 k ， 该商品的成本价格为 3 元 / 件。（ 1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式。（ 2）设 2k a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012年至少增长 20%？解 ： （ 1 ） 设 该 商 品 价 格 下 降 后 为 x 元 / 件 ， 销 量 增 加 到 ( )4kax件 ， 年 收 益( ) ( 3 ) , 5. 5 7. 54ky a x xx ， ,,,,,,,,,, 7 分（ 2）当 2k a 时，依题意有 2( )( 3) (8 3) (1 20%)4aa x ax解之得6 4 5x x或 ， ,,,,,,,,,, 12 分又 5.5 7.5x 所以 6 7.5x因此当实际价格最低定为 6 元 / 件时， 仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%。 ,,,,,,,,,, 14 分5、 （江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考）近年来 , 某企业每年消耗电费约 24 万元 , 为了节能减排 , 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网 , 安装这种供电设备的工本费 ( 单位 : 万元 ) 与太阳能电池板的面积 ( 单位 : 平方米 ) 成正比 , 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电 , 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 . 假设在此模式下 , 安装后该企业每年消耗的电费C ( 单位 : 万元 ) 与安装的这种太阳能电池板的面积 x ( 单位 : 平方米 ) 之间的函数关系是( ) ( 0,20 100kC x x kx为常数 ). 记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和 . (1) 试解释 (0)C 的实际意义 , 并建立 F 关于 x的函数关系式 ; (2) 当 x 为多少平方米时 , F 取得最小值 ?最小值是多少万元 ? 解 : (1) (0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用 , 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费由 (0) 24100kC , 得 2400k所以 2400 180015 0.5 0.5 , 020 100 5F x x xx x---------8 分(2) 因为 1800 0.5( 5) 0.25 2 1800 0.5 0.25 59.755F xx当且仅当 1800 0.5( 5)5 xx, 即 55x 时取等号所以当 x 为 55 平方米时 , F 取得最小值为 59.75 万元( 说明 : 第 (2) 题用导数求最值的 , 类似给分 ) -----------------------16 分6、 （江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研）某个公园有个池塘，其形状为直角△ ABC ，∠ C=90° ， AB=2 百米， BC=1 百米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在 AB 、 BC、 CA 上取点 D， E， F，如图 (1) ，使得EF‖ AB ， EF⊥ ED，在△ DEF 喂食，求△ DEF 面积 S△ DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘， 分别在 AB， BC， CA 上取点 D， E， F， 如图 (2)， 建造△ DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△ DEF 为正三角形，设求△ DEF 边长的最小值．答案：7、 （江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60 （如图） ，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 3 平方米， 且高度不低于 3 米． 记防洪堤横断面的腰长为 x（米） ，外周长（梯形的上底线段 ．．．．．．． BC 与两腰长的和 ．．．．．． ）为 y （米） . ⑴求 y 关于 x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值 . 解：⑴ 19 3 ( )2 AD BC h ，其中 2 2xAD BC BC x ， 32h x，∴ 1 39 3 (2 )2 2BC x x ，得182xBCx ， 由3 3218 02h xxBCx，得 2 6x∴ 18 32 ,(2 6)2xy BC x xx ； --------------------6 分⑵ 18 3 10.52xyx 得3 4x ∵ [3,4] [2,6) ∴腰长 x 的范围是 [3, 4] ------10 分CxA DB60⑶ 18 3 18 32 6 32 2x xyx x ，当并且仅当18 32xx ，即 2 3 [2, 6)x 时等号成立．∴外周长的最小值为 6 3 米，此时腰长为 2 3 米。 ------14 分8、 （江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考）某连锁分店销售某种商品 ,每件商品的成本为 4元 ,并且每件商品需向总店交 (1 3)a a 元的管理费 ,预计当每件商品的售价为 (7 9)x x 元时 ,一年的销售量为 2(10 )x 万件．（Ｉ）求该连锁分店一年的利润 L （万元）与每件商品的售价 x 的函数关系式 ( )L x ；（ II ）当每件商品的售价为多少元时 ,该连锁分店一年的利润 L 最大 ,并求出 L 的最大值．解 : （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润 L （万元）与售价 x 的函数关系式为 2( ) ( 4 )(10 ) , [7,9]L x x a x x . ……………………………3 分（Ⅱ） 2( ) (10 ) 2( 4 )(10 )L x x x a x(10 )(18 2 3 ),x a x …………………………………………6 分令 ( ) 0L x ，得 263x a 或 10x ……………………………8 分20 21 3, 6 83 3a a. ①当 26 73 a，即 312a时，[7,9]x 时， ( ) 0L x ， ( )L x 在 [7,9]x 上单调递减，故 max( ) (7) 27 9L x L a …………… 10分②当 26 73 a ，即3 32 a 时，2[7,6 ]3x a 时， ( ) 0L x ； 2[6 ,9]3x a 时， ( ) 0L x( )L x 在 2[7,6 ]3x a 上单调递增；在 2[6 ,9]3x a 上单调递减，故 3max 2( ) (6 ) 4(2 )3 3aL x L a …………… 14分答 :当 312a 每件商品的售价为 7 元时 ,该连锁分店一年的利润 L 最大 ,最大值为 27 9a万元；当 3 32 a 每件商品的售价为263 a 元时 ,该连锁分店一年的利润 L 最大 ,最大值为34(2 )3a 万元 . …………… 16分9、 （江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试）如图， ,A B 为相距 2km的两个工厂， 以 AB 的中点 O 为圆心， 半径为 2km 画圆弧。 MN 为圆弧上两点，且 ,MA AB NB AB ，在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工厂 A 的噪音影响度与 AP 的平方成反比，比例系数为 1，学校 P 受工厂 B 的噪音影响度与 BP 的平方成反比，比例系数为 4 。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y ，且设AP xkm 。（ 1）求 ( )y f x ，并求其定义域；（ 2）当 AP 为多少时，总噪音影响度最小？解： （Ⅰ）连接 OP，设 则 ， 在△AOP中，由余弦定理得， 在△BOP中，由余弦定理得 ， ,,,, 4 分∴ ，则 ， ,,,,, .6 分∵ ，则 ，∴ ，∴ ，∴ 。 ,,,,,,,,,,,, 8 分（Ⅱ） 令 ， ∴ ， 10分由 ，得 或 t=-10 （舍去） ，当 ，函数在 上单调递减；当 ，函数在 上单调递增；∴当 时，即 时，函数有最小值，也即当 AP为 （ km）时， “总噪音影响度”最小． ,,, 14 分10、 （江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研）如图 , 有三个生活小区 ( 均可看成点 ) 分别位于 , ,A B C 三点处 , AB AC , A 到线段 BC 的距离 40AO , 27ABO( 参考数据 : 2 2 3tan7 3). 今计划建一个生活垃圾中转站 P , 为方便运输 , P 准备建在线段 AO ( 不含端点 ) 上 . (1) 设 (0 40)PO x x , 试将 P 到三个小区距离的最远者 S 表示为 x的函数 , 并求S的最小值；OBNAPM设 2(0 )7PBO, 试将 P 到三个小区的距离之和 y 表示为 的函数 , 并确定当取何值时 , 可使 y 最小 ? (2)20 3 2 sin2 40 20 3 tan 40 20 3cos cosy,,,,,,,,,,,,,,11 分因为 22sin 120 3 cosy , 令 0y , 即 1sin 2 , 从而 6 , 当 06时 , 0y ; 当 26 7时 , 0y . 11、 （江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考）如图，某小区有一边长为 2（单位：百米）的正方形地块 OABC，其中 OAE 是一个游泳池，计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l （宽度不计） ，切点为 M，并把该地块分为两部分．现以点 O 为坐标原点，以线段 OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，若池边 AE 满足函数 2 2(0 2y x x 的图象，且点 M 到边 OA 距离为2 4( )3 3t t ．（ 1）当 23t 时，求直路l 所在的直线方程；（ 2） 当 t 为何值时， 地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大， 最大值是多少？解： （ 1） 022912:),914,32( yxlM（ 2） )2,( 2ttM ，过切点 M 的切线 )(2)2(: 2 txttyl即 22 2ttxy ，令 2y 得2tx ，故切线 l 与 AB 交于点 )2,2(t ；令 0y ， 得ttx 12 ， 又 ttx 12 在 ]34,32[ 递 减 ， 所 以]611,1217[12 ttx故切线 l 与 OC 交于点 )0,12( tt 。地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形，面积tttttS 142)22122(21 2)1(4tt ，等号 1t ， 2maxS 。